Giúp em câu 2 với ạ .

Đáp án:

$R = \dfrac{7a}{12}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC;\, SM\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 60^o$

Gọi $O$ là tâm của $∆ABC$

$\Rightarrow SO\perp (ABC)$

$\Rightarrow SO$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$

Bên cạnh đó:

Do $SO\perp (ABC)$

nên $SO = OM.\tan\widehat{SMO}$

$\to SO = \dfrac{1}{3}AM.\tan60^o = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$

Gọi $N$ là trung điểm $SA$

Trong $mp(SAO)$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

$\Rightarrow R = IS$

Ta có: $∆SIN\sim ∆SAO$

$\Rightarrow \dfrac{IS}{SA}=\dfrac{SN}{SO}$

$\Rightarrow IS = \dfrac{SN.SA}{SO} =\dfrac{SA^2}{2SO}$

Mặt khác:

$OA = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Áp dụng đinhh lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

Do đó:

$IS = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\right)^2}{2\cdot\dfrac{a}{2}}= \dfrac{7a}{12}$