Chứng minh các bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) làm đi:)

Question

Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
làm đi:)

in progress 0
Latifah 1 year 2020-10-13T22:51:01+00:00 2 Answers 200 views 0

Answers ( )

    0
    2020-10-13T22:52:20+00:00

    $a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)$

    $⇔ a² + 2ab + b² ≤ 2a² + 2b²$

    $⇔ a² – 2ab + b² ≤ 0$

    $⇔ (a – b)² ≤ 0$ ( luôn đúng )

    Vậy $(a + b)² ≤ 2(a² + b²)$

    $b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)$

    $⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a² + 3b² + 3c²$

    $⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc ≥ 0$

    $⇔ a² – 2ab + b² + a² – 2ac + c² + b² – 2bc + c² ≥ 0$

    $⇔ (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² ≥ 0$ ( luôn đúng )

    Vậy $(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)$

    * Lần sau bạn đăng bài không nên ghi thêm chữ làm đi ở dưới, như thế sẽ gây cho người trả lời cảm giác giống kiểu bạn đang thách thức người ta, còn có thể gây hiểu lầm là bạn khinh thường họ. Mong bạn rút kinh nghiệm nhé

     

    0
    2020-10-13T22:52:27+00:00

    Đáp án:

    a, Ta có : 

    `2(a^2 + b^2) – (a + b)^2`

    `= 2a^2 + 2b^2  – a^2 – 2ab – b^2`

    `= a^2  – 2ab + b^2`

    `= (a – b)^2 ≥ 0`

    `=> đpcm`

    Dấu “=” xẩy ra

    `<=> a = b`

    b, Ta có : 

     `3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2`

    `= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – a^2 – b^2 – c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

    `= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

    `= (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2)`

    `= (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` 

    `=> đpcm`

    Dấu “=” xây ra

    `<=> a = b = c`

    Giải thích các bước giải:

     

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )