Share
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB=2R, biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), (SBC) hợp v
Question
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB=2R, biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), (SBC) hợp với đáy (ABCD) một góc 45 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. 3R^3/4 B. 3R^3 C. 3R^3/6 D. 3R^3/2
in progress
0
Tổng hợp
4 years
2020-11-03T04:32:49+00:00
2020-11-03T04:32:49+00:00 3 Answers
836 views
0
Answers ( )
Đáp án:
$A. \, \dfrac{3R^3}{4}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là trung điểm $AB$
Do $ABCD$ là nửa lục giác đều
nên $OA = OB = OC = OD = BC = CD = DA = R$
$S_{ABCD} = 3S_{AOD} = \dfrac{3R^2\sqrt3}{4}$
Ta có:
$OA = OB = OC$
$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $C$
$\Rightarrow AC\perp BC$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SB^2= AB^2 + SA^2 = 4R^2 + SA^2$
$SC^2 = AC^2 + SA^2 = \underbrace{AB^2 – BC^2}_{AC^2} + SA^2 = 3R^2 + SA^2$
$BC^2 = R^2$
Ta thấy: $SB^2 = SC^2 + BC^2$
$\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại $C$ (Theo định lý Pytago đảo)
$\Rightarrow SC\perp BC$
Ta có:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD) = BC\\SC\subset (SBC)\\SC\perp BC\, (cmt)\\AC\subset (ABCD)\\AC\perp BC\, (cmt)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))} = \widehat{SCA} = 45^o$
$\Rightarrow SA = SC = R\sqrt3$
Do đó:
$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3R^2\sqrt3}{4}.R\sqrt3 = \dfrac{3R^3}{4}$
Đáp án:
$A$
Giải thích các bước giải:
Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$
Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên $OA=OB=OC=OD=AD=DC=BC=R$
Hình bình hành $OCED$ có $OC=OD=R$
$→ OCED$ là hình thoi $→ ED=EC=R$
$→ ΔABE$ là tam giác đều có cạnh $2R$
$→ AC$ là đường cao của $ΔABE$ hay $AC⊥BE$
Ta có:
$(SBC)∩(ABCD)=BC, AC⊥BC, SC⊥BC$ (do $BC⊥AC$ và $BC⊥SA$ nên $BC⊥(SAC) → BC⊥SC$)
$→$ Góc giữa $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^o$
Có $SA=AC=\dfrac{2R\sqrt[]{3}}{2}=R\sqrt[]{3}$ (đường cao trong tam giác đều)
Diện tích đáy là: $S_{ABCD}=\dfrac{3R^2\sqrt[]{3}}{4}$ (đvdt)
$→$ Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.R\sqrt[]{3}.\dfrac{3R^2\sqrt[]{3}}{4}=\dfrac{3R^3}{4}$ $(đvtt)$
Để tìm câu trả lời chính xác các em hãy tham khảo nửa lục giác đều các nguồn hoc24.vn, lazi.vn, hoidap247.com để thầy cô và các chuyên gia hỗ trợ các em nhé!