Cho đường tròn tâm O, đường kính AB= 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B . I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thuộc đường tròn (O) sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với đường thẳng EI cắt d1, d2 lần lượt tại M, N.
1. Chứng minh: AMEI là tứ giác nội tiếp.
2. chứng minh góc ENI= góc EBI và góc MIN = 90 độ
3. chứng minh AM.BN=AI.BI
Đáp án + giải thích các bước giải:
a) `MA` là tiếp tuyến `(O)`
`->\hat{MAO}=90^0`
`ME⊥IE`
`->\hat{MEI}=90^0`
Xét tứ giác `AMEI` có hai góc ở đỉnh `E` và `A` đối nhau và có tổng bằng `180^0`
`->AMEI` nội tiếp
b) Chứng minh tương tự, ta có `ENBI` nội tiếp
`ENBI` nội tiếp nên ta có `\hat{ENI}=\hat{EBI}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `IE`)
`\hat{AEB}=90^0` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`AMEI` nội tiếp nên ta có `\hat{AIM}=\hat{AEM}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AM`)
`ENBI` nội tiếp nên ta có `\hat{BIN}=\hat{BEN}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `BN`)
`->\hat{AIM}+\hat{BIN}=\hat{AEM}+\hat{BEN}`
`->180^0-\hat{MIN}=180^0-\hat{AEB}`
`->180^0-\hat{MIN}=180^0-90^0`
`->\hat{MIN}=90^0`
c) `\hat{AMI}=\hat{AEI}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `AI`)
mà `\hat{AEI}` phụ với `\hat{IEB}`
`->\hat{AMI}` phụ với `\hat{IEB}`
`\hat{BIN}=\hat{BEN}` (hai góc nội tiếp cùng chắn cung `BN`)
mà `\hat{BEN}` phụ với `\hat{IEB}`
`->\hat{BIN}` phụ với `\hat{IEB}`
`->\hat{AMI}=\hat{BIN}`
mà `\hat{MAI}=\hat{IBN} (=90^0)`
`->ΔAMI~ΔBIN (gg)`
`->(AM)/(BI)=(AI)/(BN)`
`->AM.BN=BI.AI`