La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS, sobre el eje x con una frecuencia de 2,5 [Hz]. En t = 0, sus componentes de po

Question

La punta de la aguja de una máquina de coser se mueve en MAS, sobre el eje x con una frecuencia de 2,5 [Hz]. En t = 0, sus componentes de posición y velocidad son, respectivamente, +1,1 [cm] y -15 [cm/s]. A) Calcule la componente de aceleración de la aguja en t = 0. B) Escriba ecuaciones para las componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo. (15 puntos)

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RobertKer 5 years 2021-07-29T06:36:18+00:00 1 Answers 835 views 1

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  1. minhkhang
    0
    2021-07-29T06:38:01+00:00
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    Answer:

    A) El componente de aceleración de la aguja en t = 0\,s es -236,206 centímetros por segundo al cuadrado.

    B) Las ecuaciones para la componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo son, respectivamente:

    x(t) = 1,458\cdot \cos (15,708\cdot t +0,228\pi)

    v(t) = -22,902\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)

    a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)

    Explanation:

    El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de carácter sinusoidal que está descrito por la siguiente ecuación cinemática:

    x(t) = A\cdot \cos (\omega\cdot t + \phi ) (1)

    Donde:

    x(t) – Posición actual de la aguja con respecto a la posición de equilibrio, en centímetros.

    A – Amplitud, en centímetros.

    \omega – Frecuencia angular, en radianes por segundo.

    \phi – Ángulo de fase, en radianes.

    Por Cálculo Diferencial, obtenemos las fórmulas cinemáticas para la velocidad (v(t)), en metros por segundo, y la aceleración (a(t)), en metros por segundo cuadrado, de la aguja:

    v(t) = -\omega\cdot A \cdot \sin (\omega\cdot t + \phi) (2)

    a(t) = -\omega^{2}\cdot A \cdot \cos (\omega\cdot t + \phi) (3)

    Por otra parte, la frecuencia angular está descrita por la siguiente fórmula:

    \omega = 2\pi\cdot f (4)

    Donde f es la frecuencia, en hertz.

    Ahora, necesitamos calcular la amplitud y el ángulo de fase mediante el sistema de ecuaciones que hemos formado: t = 0\,s, x(t) = 1,1\,cm, v(t) = -15\,\frac{cm}{s} and f = 2,5\,hz:

    Por (4):

    \omega = 2\pi\cdot f

    \omega = 2\pi\cdot (2,5\,hz)

    \omega \approx 15,708\,\frac{rad}{s}

    Por (1) y (2):

    A\cdot \cos \phi = 1,1 (1b)

    -15,708\cdot A \cdot \sin \phi = -15 (2b)

    Al dividir (2b) por (1b) y despejar el ángulo de fase tenemos que:

    -15,708\cdot \tan \phi = -13,636

    \tan \phi = 0,868

    \phi = \tan^{-1} 0.868

    \phi \approx 0,228\pi\,rad

    Por (1) tenemos el valor de la amplitud: (\phi \approx 0,228\pi\,rad)

    A = \frac{1,1}{\cos \phi}

    A = \frac{1,1}{\cos 0,228\pi}

    A \approx 1,458\,cm

    A) El componente de aceleración de la aguja se calcula por (3) evaluada en t = 0\,s:

    a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)

    a(0) = -236,206\,\frac{cm}{s^{2}}

    B) Las ecuaciones para la componentes de posición, velocidad y aceleración de la punta en función del tiempo son, respectivamente:

    x(t) = 1,458\cdot \cos (15,708\cdot t +0,228\pi)

    v(t) = -22,902\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)

    a(t) = -359,749\cdot \sin (15,708\cdot t + 0,228\pi)

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