Share
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng x4+y4≥x3y+xy3x4+y4≥x3y+xy3 Mình ko hiểu chỗ biến đổi chỗ hằng đẳ
Question
Leave an answer
Khang Minh
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Answers ( )
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\\
\Leftrightarrow {x^4} + {y^4} – {x^3}y – x{y^3} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x – y} \right) – {y^3}\left( {x – y} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^3} – {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2}\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2}\left( {{x^2} + 2.x.\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}{y^2} + \frac{3}{4}{y^2}} \right)\\
\Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}y} \right)}^2} + \frac{3}{4}{y^2}} \right] \ge 0\left( {ld} \right)
\end{array}\)
`x^4+y^4≥x^3y+xy^3 (x,y∈RR)`
Chứng minh:
Giả sử điều phải chứng minh là đúng, tức là:
`x^4+y^4≥x^3y+xy^3`
`⇔x^4+y^4-x^3y-xy^3≥0`
`⇔(x^4-x^3y)+(y^4-xy^3)≥0`
`⇔x^3(x-y)+y^3(y-x)≥0`
`⇔x^3(x-y)-y^3(x-y)≥0`
`⇔(x-y)(x^3-y^3)≥0`
`⇔(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)≥0`
`⇔(x-y)^2(x^2+ 2. 1/2xy + 1/4y^2+3/4y^2)≥0`
`⇔(x-y)^2[(x+1/2y)^2+3/4y^2]≥0`
Có: `(x-y)^2\ge0, (x+1/2y)^2+3/4y^2\ge0⇒(x-y)^2[(x+1/2y)^2+3/4y^2]≥0` (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi `x-y=0⇔x=y.`
Vậy `x^4+y^4≥x^3y+xy^3`. Dấu bằng xảy ra khi `x=y.`
Để tìm câu trả lời chính xác các em hãy tham khảo x^4+y^4 các nguồn hoc24.vn, lazi.vn, hoidap247.com để thầy cô và các chuyên gia hỗ trợ các em nhé!