Help mi @@@ chuyên gia, HSG Question Help mi @@@ chuyên gia, HSG in progress 0 Môn Toán Helga 4 years 2020-10-29T09:03:39+00:00 2020-10-29T09:03:39+00:00 1 Answers 75 views 0
Answers ( )
a) Ta có
$a^2 – ab -2b^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2 + ab – 2ab – 2b^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow a(a+b) – 2b(a+b) \geq 0$
$\Leftrightarrow (a-2b)(a+b) \geq 0$
$\Leftrightarrow a-2b \geq 0$ (do $a, b >0$)
$\Leftrightarrow a \geq 2b$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \geq 2$
b) Ta có
$F = \dfrac{4a^2 + b^2}{ab}$
$= \dfrac{4a^2}{ab} + \dfrac{b^2}{ab}$
$= \dfrac{4a}{b} + \dfrac{b}{a}$
Đặt $t = \dfrac{a}{b}$, khi đó $t \geq 2$ và ta cần tìm GTNN của
$F = 4t + \dfrac{1}{t}$
$= \dfrac{t}{4} + \dfrac{1}{t} + \dfrac{15t}{4}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$\dfrac{t}{4} + \dfrac{1}{t} \geq 2 \sqrt{\dfrac{t}{4} . \dfrac{1}{t}} = 1$
Lại có $t \geq 2$ nên ta có
$F \geq 1 + \dfrac{15.2}{4} = \dfrac{17}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi $t = 2$ hay $a = 2b$
Vậy GTNN của $F$ là $\dfrac{17}{2}$ đạt đc khi $a = 2b$.