Share
Bài 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm), cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC. Lấy I là
Question
Bài 1: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm), cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC. Lấy I là trung điểm của BC. Tia OI cắt cung nhỏ BC tại N, AN cắt BC tại D.
a) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC.
b) Chứng minh : MD^2 = MB.MC.
c) Gọi H, K là hình chiếu của N lên AB và AC. Chứng tỏ ba điểm H, I, K thẳng hàng
Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (BC là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC(IEAB,KEAC)
a) Chứng minh : tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn
b) Vẽ MP vuông góc với BC(PEBC). Chứng minh : góc MPK bằng gócMBC
c) Chứng minh rằng : MI.MK=MP?
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC=RV3. A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N.
a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AE.AB = AD.AC
c) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác O). Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính R=3cm. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.
1) Chứng minh tử giác OBDC nội tiếp đường tròn.
2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết OD=5cm. Tính diện tích của tam giác BCD.
3) Kẻ đường thắng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AB.AP=AQ.AC
4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
Bài 5: Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm 0 (C nằm giữa M và D; 0 và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Chứng minh MB²=MC.MD
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của góc CHD.
in progress
0
Tổng hợp
4 years
2020-12-09T02:20:47+00:00
2020-12-09T02:20:47+00:00 2 Answers
595 views
1
Answers ( )
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
a.Ta có : $I$ là trung điểm BC $\to OI\perp BC\to N$ là điểm chính giữa cung BC
$\to AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$
b.Ta có :$MA$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{MAB}=\widehat{MCA}\to\Delta MAB\sim\Delta MCA(g.g)$
$\to\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\to MA^2=MB.MC$
Lại có :
MA là tiếp tuyến của (O)$\to\widehat{MAB}=\widehat{MCA}$
$AD$ là phân giác $\widehat{BAC}\to\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$
$\to\widehat{MDA}=\widehat{DAC}+\widehat{BCA}=\widehat{BAD}+\widehat{MAB}=\widehat{MAB}$
$\to\Delta MAD$ cân tại M
$\to MD=MA\to MD^2=MB.MC$
c.Ta có : $NH\perp AH, NI\perp BC , NK\perp AC$
$\to NHBI, NIKC, NHAK$ nội tiếp
$\to \widehat{BIH}=\widehat{BNH}=90^o-\widehat{HBN}=90^o-\widehat{NCA}=\widehat{KNC}=\widehat{KIC}$
($\widehat{HBN}=\widehat{NCA}$ cùng bù $\widehat{ABN}$)
$\widehat{BIH}=\widehat{KIC}$ mà chúng ở vị trí đối đỉnh $B,I,C$ thẳng hàng
$\to H, I, K$ thẳng hàng
Bài 2:
a.Ta có : $MI\perp AI, MK\perp AK\to\widehat{AIM}+\widehat{AKM}=90^o+90^o=180^o$
$\to AIMK$ nội tiếp
b.Ta có :$MK\perp AC, MP\perp BC\to MKCP$ nội tiếp
$\to \widehat{MPK}=\widehat{MCK}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
$\widehat{MCK}=\widehat{MBC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
$\Rightarrow \widehat{MPK}=\widehat{MBC}$ (đpcm)
c.Ta có : $MP\perp BC, MI\perp AB\to MIBP$ nội tiếp
$\to \widehat{MIP}=\widehat{MBC}=\widehat{MPK}$
$\widehat{MPI}=\widehat{MBI}=\widehat{MCB}=\widehat{MKP}$
$\to\Delta MIP\sim\Delta MPK(g.g)$
$\to\dfrac{MI}{MP}=\dfrac{MP}{MK}\to MP^2=MI.MK$
d.Từ câu c
$\to MI.MK.MP=MP^3 $
Gọi $AO\cap (O)=D, AO\cap BC=E\to MP\le DE$
$\to MI.MK.MP\le DE^3$
Dấu = xảy ra khi $M\equiv D\to M=AO\cap (O)$
Bài 3:
a.Ta có : $BD\perp AC, CE\perp AB\to \widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^o$
$\to BEDC$ nội tiếp
b.Ta có : $\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\to\Delta AEC\sim\Delta ADB(g.g)$
$\to\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\to AE.AB=AD.AC$
c.Vì AF là đường kính của (O)
$\to FC//BD(\text{cùng }\perp AC), CE//FB(\text{cùng }\perp AB)\to BHCF $ là hình bình hành
d.Ta có : $HE\perp AB, HD\perp AC\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính AH
$\to AK\perp HK$
Mà $AF $ là đường kính của (O) $\to FK\perp AK\to F,H,K$ thẳng hàng
Bài 4:
a.Ta có : $DB, DC$ là tiếp tuyến của (O) $\to DB\perp OB, DC\perp OC$
$\to \widehat{OBD}+\widehat{OCD}=90^o+90^o=180^o$
$\to OBDC$ nội tiếp
b.Ta có : $DO\cap BC=M\to OD\perp CB\to M$ là trung điểm BC
Mà $OB\perp BD\to BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=4$
Do $BO\perp BD, BM\perp OD\to\Delta OBD: BO^2=OM.OD$
$\to OM=\dfrac{BO^2}{OD}=1,8\to MD=OD-OM=3,2; BC=2BM=2\sqrt{OB^2-OM^2}=4,8$
$\to S_{BCD}=\dfrac 12 DM.BC=7,68cm^2$
c. Gọi EF là tiếp tuyến của (O) qua A
$\to PQ//EF\to \widehat{QPA}=\widehat{EAB}=\widehat{ACB}$
$\to\Delta ABC\sim\Delta AQP(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AQ}=\dfrac{AC}{AP}\to AB.AP=AQ.AC$
d.Ta có :
$\widehat{PBC}=\widehat{PAC}+\widehat{ACB}$ (tính chất góc ngoài tam giác)
$\to \widehat{PBD}+\widehat{DBC}=\widehat{PAC}+\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{DBC}=\widehat{BAC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
$\to\widehat{PBD}=\widehat{ACB}=\widehat{APQ}$ (do $\Delta ABC\sim\Delta AQP$ cmt)
$\to\widehat{DBP}=\widehat{DPB}\to DB=DP$
Tương tự $DC=DQ\to DP=DQ(DB=DC)\to D$ là trung điểm PQ
Mà M là trung điểm BC , $\Delta ABC\sim\Delta AQP$
$\to\dfrac{AC}{AP}=\dfrac{CB}{PQ}=\dfrac{CM}{PD}$ có $\widehat{ACM}=\widehat{APD}$
$\to\Delta AMC\sim\Delta ADP$ (c.g.c)
$\to\widehat{PAD}=\widehat{MAC}$
Bài 5:
a.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\to MAOB$ nội tiếp
b.Ta có : $MB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{MBC}=\widehat{MDB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
$\to\Delta MBC\sim\Delta MDB(g.g)$
$\to\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\to MB^2=MC.MD$
c.Ta có:
$MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)
$\to MO\perp AB=H\to MH.MO=MB^2$
$\to MH.MO=MC.MD\to\dfrac{MH}{MD}=\dfrac{MC}{MO}$
$\to\Delta MHC\sim\Delta MDO(c.g.c)$
$\to \widehat{MHC}=\widehat{MDO}=\widehat{CDO}$ mà $\widehat{MHC}+\widehat{CHO}=180^o$
$\Rightarrow\widehat{CDO}+\widehat{CHO}=180^o\Rightarrow HCDO$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{OCD}=\widehat{OHD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OD)
và có $\widehat{MHC}=\widehat{CDO}=\widehat{OCD}$
$\Rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{OHD}$
Mà $\widehat{MHB}=\widehat{OHB}=90^o\to \widehat{CHB}=\widehat{BHD}$ (cùng cộng với hai góc bằng nhau ra $90^o$)
$\to $ AB là phân giác của góc CHD.
Để tìm câu trả lời chính xác các em hãy tham khảo tính chất cát tuyến của đường tròn các nguồn hoc24.vn, lazi.vn, hoidap247.com để thầy cô và các chuyên gia hỗ trợ các em nhé!