Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của AH. a) Chứng mình: BMNC nội tiếp và K là tâm đường t

Question

Cho Δ ABC nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của AH.
a) Chứng mình: BMNC nội tiếp và K là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ MNH.
b) Gọi L là điểm đổi xứng của H qua BC. Chứng minh: AM.AC=AN.AB và điểm L thuộc đường tròn (O).
c) Gọi I là giao điểm của AH và MN. Chứng minh MB là tia phân giác của góc NMD và IH.AD=AI.DH.
d) Chứng mình: I là trực tâm của Δ BKC

in progress 0
MichaelMet 3 years 2021-05-24T23:54:10+00:00 1 Answers 87 views 0

Answers ( )

  1. Cherry
    0
    2021-05-24T23:55:35+00:00
    Reply

    Giải thích các bước giải:

    a.Ta có $\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^o$

    $\to BCMN$ nội tiếp

    Lại có $\widehat{ANH}=\widehat{AMH}(=90^o)$

    $\to ANHM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

    $\to ANHM$ nội tiếp $(K,\dfrac12AH)$

    $\to K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHN$

    b.Xét $\Delta AMB, \Delta ANC$ có:

    Chung $\hat A$

    $\widehat{ANC}=\widehat{AMB}(=90^o)$

    $\to \Delta ANC\sim\Delta AMB(g.g)$

    $\to \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}$

    $\to AN.AB=AM.AC$

    Vì $H, L$ đối xứng qua $BC$

    $\to \widehat{BLC}=\widehat{BHC}=\widehat{NHM}=180^o-\hat A$

    $\to \widehat{BLC}+\hat A=180^o$

    $\to ABLC$ nội tiếp

    $\to L\in (ABC)$

    $\to L\in (O)$

    c.Ta có $\widehat{NMB}=\widehat{NCB}=\widehat{HCD}=90^o-\widehat{DHC}=90^o-\widehat{AHN}=\widehat{NAH}=\widehat{NMH}=\widehat{NMB}$

    $\to MB$ là phân giác $\widehat{NMD}$

    $\to MH$ là phân giác $\widehat{IMD}$

    Mà $MA\perp MH$

    $\to MA$ là phân giác ngoài đỉnh $M$ của $\Delta MID$

    $\to \dfrac{AD}{AI}=\dfrac{DH}{HI}$

    $\to IH.AD=AI.DH$

    d.Từ câu c

    $\to \widehat{NMD}=2\widehat{NMB}=2\widehat{NCB}=2\widehat{NAD}=\widehat{NKD}$

    $\to NKMD$ nội tiếp

    Mà $KD\cap NM=I$

    $\to IK.ID=IM.IN$

    Lại có $ANHM$ nội tiếp $AH\cap MN=I\to IM.IN=IH.IA$

    $\to IK.ID=IH.IA$

    $\to \dfrac{IH}{ID}=\dfrac{IK}{IA}$

    $\to \dfrac{ID-IH}{ID}=\dfrac{IA-IK}{IA}$

    $\to \dfrac{DH}{DI}=\dfrac{AK}{IA}$

    $\to AK.DI=AI.DH=IH.AD$

    Ta chứng minh

    $DI.DK=DH.DA$

    $\to (DH+HI).DK=DH(DK+KA)$

    $\to DH.DK+HI.DK=DH.DK+DH.AK$

    $\to HI.DK=DH.HK$

    $\to HI(AD-AK)=DH.HK$

    $\to HI.AD-AK.HI=DH.HK$

    $\to HI.AD=AK.HI+DH.HK$

    $\to HI.AD=AK.HI+DH.AK$

    $\to HI.AD=AK(HI+DH)$

    $\to HI.AD=AK.DI$ (đúng)

    $DI.DK=DH.DA$

    $\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{DA}{DK}$

    Mà $\widehat{IDB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

    $\to \Delta DBI\sim\Delta DKC(c.g.c)$

    $\to \widehat{DBI}=\widehat{DKC}$

    Gọi $BI\cap CK=F$

    $\to \widehat{FBD}=\widehat{FKD}$

    $\to FKBD$ nội tiếp

    $\to \widehat{KFB}=\widehat{KDB}=90^o\to BF\perp CK$

    Mà $KD\perp BC, DK\cap BF=I$

    $\to I$ là trực tâm $\Delta KBC$

    $\to đpcm$

    cho-abc-nhon-noi-tiep-o-r-cac-duong-cao-ad-bm-cn-cat-nhau-tai-h-goi-k-la-trung-diem-cua-ah-a-chu

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )