Cho a,b lớn hơn 0 thoả mãn 2a + b ≤ 3 cmr: 2 / √(a+3) + 1/ √(b+3) ≥ 3/2

Question

Cho a,b lớn hơn 0 thoả mãn 2a + b ≤ 3
cmr: 2 / √(a+3) + 1/ √(b+3) ≥ 3/2

in progress 0
Sigridomena 5 years 2020-11-10T13:40:35+00:00 1 Answers 61 views 0

Answers ( )

  1. Orla
    0
    2020-11-10T13:42:25+00:00
    Reply

    Lời giải:

    Ta có:

    $\dfrac{2}{\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}$

    $= \dfrac{4}{2\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}$

    $= \dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}}$

    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

    $\dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{(2 + 1)^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6} + \sqrt{b + 3}}$

    Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

    $\sqrt2.\sqrt{2a + 6} + \sqrt{b + 3} \leq \sqrt{(\sqrt2^2 + 1^2)(2a + 6 + b + 3} = \sqrt{3.(2a + b + 9)} \leq \sqrt{3.(3 +9)} = 6$

    Do đó:

    $\dfrac{(2 + 1)^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}+ \sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{2^2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} + \dfrac{1^2}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{3}{2}$

    Hay $\dfrac{2}{\sqrt{a + 3}} + \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}} \geq \dfrac{3}{2}$

    Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt2.\sqrt{2a + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{b + 3}}\\2a + b = 3\end{cases} \Leftrightarrow a = b =  1$

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )