Share
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC, từ một điểm D bất kì thuộc cạnh BC ta kẻ đường vuông góc với BC cắt cạnh AB tại E
Question
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp nửa đường tròn đường kính BC, từ một điểm D bất kì thuộc cạnh BC ta kẻ đường vuông góc với BC cắt cạnh AB tại E và cắt đường thẳng AC tại F, tiếp tuyến tại A với nửa đường tròn cắt DE tại điểm M
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp và bốn điểm A,F,B, D cùng nằm trên một đường tròn
B) FB cắt đường tròn tại K. Chứng minh C, E, K thẳng hàng
C) chứng minh điểm M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF
P/s: giúp mình câu b,c
in progress
0
Môn Toán
5 years
2021-05-23T14:56:37+00:00
2021-05-23T14:56:37+00:00 1 Answers
106 views
0
Answers ( )
b)
$\Delta BKC$, $\Delta BAC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\to\begin{cases}BK\bot KC\\CA\bot BE\end{cases}$
$\Delta EBC$ có
$\begin{cases}ED\text{ là đường cao }\\CA\text{ là đường cao }\\ED\text{ cắt } CA \text{ tại } F\end{cases}$
Nên $F$ là trực tâm $\Delta EBC$
$\to BF\bot EC$
$\to BK\bot EC$
Mà $BK\bot KC\,\,\,\left( cmt \right)$
Nên $EC\equiv KC$
$\to C,E,K$ thẳng hàng
c)
Ta có: $\begin{cases}\widehat{MEA}=\widehat{OCA}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{ABC}\right)\\\widehat{MAE}=\widehat{OAC}\,\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{MAF}\right)\end{cases}$
Mà: $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ ( vì $\Delta OAC$ cân tại $O$ )
Nên: $\widehat{MEA}=\widehat{MAE}$
$\to \Delta MEA$ cân tại $M$
$\to ME=MA\,\,\,\left( 1 \right)$
Ta có: $\widehat{MEA}=\widehat{MAE}\,\,\,\left( cmt \right)$
Mà: $\begin{cases}\widehat{MEA}+\widehat{MFA}=90{}^\circ\\\widehat{MAE}+\widehat{MAF}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên: $\widehat{MFA}=\widehat{MAF}$
$\to \Delta MFA$ cân tại $M$
$\to MF=MA\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được $ME=MF$
$\to M$ là trung điểm $EF$
Mà: $\Delta EAF$ lại vuông tại $A$
Nên: $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAF$