Share
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . CMR : p ² – 1 chia hết cho 8
Question
Leave an answer
Mộc Miên
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Answers ( )
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$
`=>p` là số lẻ `=>p=2k+1` $(k\in N$*;$k>1)$
Ta có:
`\qquad p^2-1`
`=p^2-p+p-1`
`=p(p-1)+(p-1).1`
`=(p-1).(p+1)`
`=(2k+1-1).(2k+1+1)`
`=2k.(2k+2)`
`=2k.2.(k+1)`
`=4k.(k+1)`
Vì `k.(k+1)` là tích hai số tự nhiên liên tiếp
`=>k(k+1)\ \vdots\ 2`
`=>4.k.(k+1)\ \vdots \ (4.2)`
`=>(p^2-1)\ \vdots\ 8`
Vậy với $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì `(p^2-1)` chia hết cho $8$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì pp là số nguyên tố lớn hơn 33
⇒p⇒p là số lẻ ⇒p=2k+1⇒p=2k+1 (k∈N(k∈N*;k>1)k>1)
Ta có:
p2−1 p2-1
=p2−p+p−1=p2-p+p-1
=p(p−1)+(p−1).1=p(p-1)+(p-1).1
=(p−1).(p+1)=(p-1).(p+1)
=(2k+1−1).(2k+1+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)
=2k.(2k+2)=2k.(2k+2)
=2k.2.(k+1)=2k.2.(k+1)
=4k.(k+1)=4k.(k+1)
Vì k.(k+1)k.(k+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp
⇒k(k+1) ⋮ 2⇒k(k+1) ⋮ 2
⇒4.k.(k+1) ⋮ (4.2)⇒4.k.(k+1) ⋮ (4.2)
⇒(p2−1) ⋮ 8⇒(p2-1) ⋮ 8
Vậy với pp là số nguyên tố lớn hơn 33 thì (p2−1)(p2-1) chia hết cho 8