Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCD và S.AMN Tính gó

Question

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB, SD.
Tính thể tích khối chóp S.BCD và S.AMN
Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

in progress 0
Helga 6 years 2020-10-26T13:02:41+00:00 1 Answers 196 views 0

Answers ( )

  1. Dulcie
    0
    2020-10-26T13:04:35+00:00
    Reply

    Đáp án:

    $a) \,\,V_{S.BCD} = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

    $V_{S.AMN} = \dfrac{a^3\sqrt2}{48}$

    $b)\,\,\widehat{((SCD);(ABCD))} \approx 55^o$

    $c)\,\,d(SA;CD) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

    Giải thích các bước giải:

    a) Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$

    $\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$

    $\Rightarrow S_{ABCD} = a^2$

    Gọi $O = AC\cap BD$

    $\Rightarrow OA = OB =OC = OD = \dfrac{\sqrt2}{2}$

    $\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

    Áp dụng định lý Pytago, ta được:

    $SA^2 = SO^2 + OA^2$

    $\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

    Ta có:

    $S_{BCD} = S_{ABD} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$

    $\Rightarrow S_{BCD} = S_{ABD} = \dfrac{a^2}{2}$

    Do đó:

    $V_{S.BCD} = \dfrac{1}{3}S_{BCD}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2} = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

    Ta có:

    $SM = MB = \dfrac{1}{2}SB$

    $SN = ND = \dfrac{1}{2}SD$

    $\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình)

    $\Rightarrow S_{AMN} = \dfrac{1}{4}S_{SBD}$

    $\Rightarrow V_{A.SMN} = \dfrac{1}{4}V_{A.SBD} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABD} = \dfrac{1}{4}V_{S.BCD}$

    $\Rightarrow V_{A.SMN} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{a^3\sqrt2}{12} = \dfrac{a^3\sqrt2}{48}$

    b) Gọi $H$ là trung điểm $CD$

    $\Rightarrow OH\perp CD$

    $\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{a}{2}$

    Do $SC = SD = a$

    $HC = HD = \dfrac{1}{2}CD$

    $\Rightarrow SH\perp CD$

    Ta có:

    $\begin{cases}(ABCD)\cap (SCD)= CD\\OH\perp CD, \,OH\subset (ABCD)\\SH\perp CD,\,SH\subset (SCD)\end{cases}$

    $\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SHO}$

    $\Rightarrow \tan\widehat{SHO} = \dfrac{SO}{OH} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}}{\dfrac{a}{2}} = \sqrt2$

    $\Rightarrow \widehat{SHO} \approx 55^o$

    c) Ta có:

    $CD//AB$

    $\Rightarrow CD//(SAD)$

    $\Rightarrow d(CD;(SAD)) = d(CD;SA)$ $(SA\subset (SAD))$

    $\Rightarrow d(H;(SAD)) = d(CD;SA)$

    Ta lại có:

    $AB\perp SO\quad (SO\perp (ABCD))$

    $AB\perp OH \quad (OH\perp CD)$

    $\Rightarrow AB\perp (SHO)$

    Kéo dài $OH$ cắt $AD$ tại $K$

    $\Rightarrow AB\perp (SKH)$

    Kẻ $HI\perp SK$

    $\Rightarrow AB\perp HI$

    $\Rightarrow HI\perp (SAD)$

    $\Rightarrow HI = d(H;(SAD))$

    Áp dụng định lý Pytago, ta được:

    $SA^2 = AK^2 + SK^2$

    $\Rightarrow SK = \sqrt{SA^2 – AK^2} = \sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

    Xét $ΔSHK$ có:

    $SO.HK = HI.SK= 2S_{AHK}$

    $\Rightarrow HI = \dfrac{SO.HK}{SK} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot a}{\dfrac{a\sqrt3}{2}} = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

    cho-hinh-chop-tu-giac-deu-s-abcd-co-tat-ca-cac-canh-bang-a-goi-m-n-lan-luot-la-trung-diem-cua-sb

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )