Share
π là số vô tỉ chứng minh
Question
Leave an answer
Maris
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Answers ( )
Xét các chuỗi hàm An và Un từ {\displaystyle \mathbb {R} } tới {\displaystyle \mathbb {R} } cho {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} mà được định nghĩa bởi:
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x}},&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}\end{aligned}}}
Sử dụng quy nạp chúng ta có thể chứng minh rằng
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}}{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,}
Vì thế
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n}'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\right)={\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}}
tương đương với
{\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,}
Sử dụng định nghĩa của chuỗi và sử dụng phép quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được rằng
{\displaystyle A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,}
Trong đó Pn và Qn là các hàm đa thức có hệ số nguyên và bậc của Pn nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/ 2⌋. Cụ thể, An (π/2) = Pn (π2/4).
Hermite cũng đưa ra biểu thức đóng cho hàm An, cụ thể là
{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,}
Trước hết, khẳng định này tương đương với
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).}
Tiến hành theo quy nạp, lấy n = 0.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)}
và, đối với bước quy nạp, xem xét bất kỳ {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Nếu
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=U_{n}(x),}
Nếu π2/4 = p/q, với p và q thuộc {\displaystyle \mathbb {N} }, thì vì các hệ số của Pn là các số nguyên và bậc của nó nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/2⌋, q⌊ n / 2⌋Pn(π 2/4) là một số nguyên N. Nói cách khác,
{\displaystyle N=q^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=q^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {\left({\frac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2}}z\right)\,\mathrm {d} z.}
=> π là số vô tỉ
Số π (pi) là vô tỷ: Nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, trong đó $a$ là số nguyên và $b$ là số nguyên khác không
Để tìm câu trả lời chính xác các em hãy tham khảo số vô tỉ các nguồn hoc24.vn, lazi.vn, hoidap247.com để thầy cô và các chuyên gia hỗ trợ các em nhé!