Share
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằ
Question
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết khoảng cách từ A đến mp (SCD) bằng $\frac{3\sqrt{7}a }{7}$ . tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
in progress
0
Môn Toán
6 years
2020-12-01T02:47:27+00:00
2020-12-01T02:47:27+00:00 1 Answers
270 views
0
Answers ( )
Đáp án:
${V_{S.ABCD}} = \dfrac{3}{2}{a^3}$
Giải thích các bước giải:
Gọi H là trung điểm của AB, E là trung điểm của CD. Gọi F là hình chiếu của H trên SE.
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right);\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB;SH \bot AB\\
\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)
\end{array}$
Lại có:
$\begin{array}{l}
AB//CD\\
\Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}
\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
CD \bot HE;CD \bot SH \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot HF\\
HF \bot CD;HF \bot SE \Rightarrow HF \bot \left( {SCD} \right)
\end{array}$
$ \Rightarrow HF = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}$
Đặt $AB = x\left( {x > 0} \right)$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta SHE;\widehat {SHE} = {90^0};SH = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2};HE = x\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\\
\Leftrightarrow \dfrac{7}{{9{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{x^2}}}\\
\Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2}\\
\Leftrightarrow x = a\sqrt 3
\end{array}$
Khi đó:
${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2}.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \dfrac{3}{2}{a^3}$
Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{3}{2}{a^3}$