YÊU CẦU RÕ RÀNG
Cho 0 ≤ x,y,z ≤2 và x+y+z=3
c/m x ³+y ³+z ³ ≤9
YÊU CẦU RÕ RÀNG Cho 0 ≤ x,y,z ≤2 và x+y+z=3 c/m x ³+y ³+z ³ ≤9
Share
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Latifah
$x+y+z=3$
$⇒(x+y+z)^2=9$
$⇒x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9$
$⇒x^3+y^3+z^3≤x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9$ (đpcm)
Vodka
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$x + y + z = 3$. Áp dụng Hằng đẳng thức:
$: x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz$
$ = 27 – 9(xy + yz + zx) + 3xyz$
$ = 27 – 9[xy + z(x + y)] + 3xyz$
$ = 27 – 9[xy + z(3 – z)] + 3xyz$
$ = 9 – 3xy(3 – z) + 9z² – 27z + 18$
$ = 9 – 3[xy(3 – z) + 3(z – 1)(2 – z)] (*)$
$ x; y; z $ có vai trò bình đẳng nên không mất
tính tổng quát có thể giả thiết $ 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2$
$ x + y + z = 3 ⇒ 1 ≤ z ≤ 2 ⇒ (z – 1)(2 – z) ≥ 0; 3 – z > 0$
$ ⇒ xy(3 – z) + 3(z – 1)(2 – z) ≥ 0 $
Từ $(*) ⇒ x³ + y³ + z³ ≤ 9 $
Dấu $’=’$ xảy ra khi $ xy(3 – z) = 3(z – 1)(2 – z) = 0
$ ⇔ xy = (z – 1)(2 – z) = 0 ⇔ x = 0; z = 2; y = 1$
hoặc $ y = 0; z = 2; x = 1$