tìm STN x, biết 1+p +p^2+p^3+p^4 là SCP

Đáp án:

$p = 3$

Giải thích các bước giải:

$1 + p + p^2 + p^3 + p^4$ là số chính phương

$\to 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = n^2$ $(n \in \Bbb N)$

$\to 4 + 4p + 4p^2 + 4p^3 +4p^4 = 4n^2$

$\to \begin{cases} 4n^2 > 4p^4 + 4p^3 + p^2 = (2p^2 + p)^2\\4n^2 < 4p^4 +4p^3 + 9p^2 + 4p + 4 = (4p^4 + 4p^3 + p^2 + 4p+4p^3 + +8p^2 + 4 = (2p^2 + p + 2)^2\end{cases}$

$\to (2p^2 + p)^2 < 4n^2 < (2p^2 + p + 2)^2$

$\to 4n^2 = (2p^2 + p + 1)^2$

$\to 4 + 4p + 4p^2 + 4p^3 +4p^4 = 4p^4 + 4p^3 + p^2 + 4p^2 + 2p + 1$

$\to p^2 – 2p – 3 = 0$

$\to (p +1)(p – 3) = 0$

$\to p = 3 \qquad (p \in \Bbb N)$