Giup nốt nha mn , hết điểm rùi Cho 101 số `a1 , a2 , …. a101` trong đó `a1 = 5 , a2 = a1 + 1/a1 , ….. , a(n + 1) = a^n + 1/a^n` với mọi `n >=1` CM

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Theo bài ra ta có: `a_{n}>0∀n⇒\frac{1}{a_{n}}>0∀n`

Ta có: `a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}(1)`

Do vậy:

$a_1^2=25$

`a_2^2=a_1^2+2+\frac{1}{a_1^2}`

`a_3^2=a_2^2+2+\frac{1}{a_2^2}`

$…………..$

`a_{51}^2=a_{50}^2+2+\frac{1}{a_{50}^2}`

Thay thế lần lượt , ta được:

`a_{51}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{50}^2})` (50 số 2)

`>25+2.50=125>121`

`⇒a_{51}>11` (đpcm)

b) Chứng minh tương tự câu a, ta được:

`a_{101}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)

`>25+2.100=225⇒a_{101}^2>15(2)`

Từ `a_{51}>11⇒\frac{1}{a_{51}}<\frac{1}{11}`

Theo công thức $(1)$, ta được: $a_{n+1}^2>a_{n}^2⇒a_{n+1}>a_{n}>0$

Do vậy: $a_1<a_2<…<a_{101}$

`⇒\frac{1}{a_1}>\frac{1}{a_2}>…>\frac{1}{a_{101}}`

Ta có: `\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2}`

`=(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{50}^2})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{52}^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})`

`<(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_1^2}+….+\frac{1}{a_1^2)})+(\frac{1}{a_{51}^2}+\frac{1}{a_{51}^2}+….+\frac{1}{a_{51}^2})` (50 số `\frac{1}{a_1^2}`; 50 số `\frac{1}{a_{51}^2}`)

`=50.\frac{1}{a_1^2}+50.\frac{1}{a_{51}^2}`

`<50.\frac{1}{25}+50.\frac{1}{11^2}`

`=2+\frac{50}{121}`

`<3,01`

Ta có:

`a_{101}^2=25+2+2+….+2+(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+….+\frac{1}{a_{100}^2})` (100 số 2)

`<25+100.2+3,01=228,01⇒a_{101}<15,1(3)`

Từ $(2);(3)⇒15<a_{101}<15,1$ (đpcm)