Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b)

Question

Giúp mk:
Cho a,b,c >0 .tìm gtnn:
3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b)

in progress 0
Ben Gia 4 years 2020-11-03T01:11:15+00:00 2 Answers 66 views 0

Answers ( )

    0
    2020-11-03T01:12:20+00:00

    Đáp án:

    Ta có : 

    Đặt `F = (3a)/(b + c) + (4b)/(a + c) + (5c)/(a + b)`

    `=> F + 12  = [(3a)/(b + c) + 3] + [(4b)/(a + c) + 4] + [(5c)/(a + b) + 5]`

    ` = [3(a + b + c)]/(b + c) + [4(a + b + c)]/(a + c)  + [5(a + b + c)]/(a + b)`

    `= (a + b + c)(3/(b + c) + 4/(a + c) + 5/(a + b))`

    Áp dụng BĐT bu – nhi – a  – cốp – xki

    `F + 12 ≥ (a + b + c)[(√3 + 2 + √5)^2]/(2(a + b + c))  = (√3 + 2 + √5)^2/2`

    `=> F ≥ (√3 + 2 + √5)^2/2 – 12 `

    Dấu “=” xẩy ra

    `<=> \sqrt{3}/(b + c) = \sqrt{4}/(a + c) = \sqrt{5}/(b + a)`

    Giải thích các bước giải:

     

    0
    2020-11-03T01:12:57+00:00

    Đáp án:

    $\min = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

    Giải thích các bước giải:

    $\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}$

    $= \dfrac{3a}{b + c} + 3 + \dfrac{4b}{a + c} + 4 + \dfrac{5c}{a + b}+ 5 – 12$

    $= \dfrac{3(a+b+c)}{b + c} + \dfrac{4(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{5(a + b + c)}{a + b} -12$

    $= (a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

    $(a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$

    $\geq (a + b + c)\dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2(a + b + c)} – 12$

    $= \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

    $a, b, c$ là các số thực dương tùy ý thoả mãn

    $\dfrac{\sqrt3}{b + c} = \dfrac{2}{a + c} = \dfrac{\sqrt5}{a + b}$

    Vậy $\min\left(\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}\right) =  \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )