Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b) Question Giúp mk: Cho a,b,c >0 .tìm gtnn: 3a/(b+c)+4b/(a+c)+5c/(a+b) in progress 0 Môn Toán Ben Gia 4 years 2020-11-03T01:11:15+00:00 2020-11-03T01:11:15+00:00 2 Answers 66 views 0
Answers ( )
Đáp án:
Ta có :
Đặt `F = (3a)/(b + c) + (4b)/(a + c) + (5c)/(a + b)`
`=> F + 12 = [(3a)/(b + c) + 3] + [(4b)/(a + c) + 4] + [(5c)/(a + b) + 5]`
` = [3(a + b + c)]/(b + c) + [4(a + b + c)]/(a + c) + [5(a + b + c)]/(a + b)`
`= (a + b + c)(3/(b + c) + 4/(a + c) + 5/(a + b))`
Áp dụng BĐT bu – nhi – a – cốp – xki
`F + 12 ≥ (a + b + c)[(√3 + 2 + √5)^2]/(2(a + b + c)) = (√3 + 2 + √5)^2/2`
`=> F ≥ (√3 + 2 + √5)^2/2 – 12 `
Dấu “=” xẩy ra
`<=> \sqrt{3}/(b + c) = \sqrt{4}/(a + c) = \sqrt{5}/(b + a)`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
$\min = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}$
$= \dfrac{3a}{b + c} + 3 + \dfrac{4b}{a + c} + 4 + \dfrac{5c}{a + b}+ 5 – 12$
$= \dfrac{3(a+b+c)}{b + c} + \dfrac{4(a + b + c)}{a + c} + \dfrac{5(a + b + c)}{a + b} -12$
$= (a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$(a+b+c)\left(\dfrac{3}{b+c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{5}{a + b}\right) – 12$
$\geq (a + b + c)\dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2(a + b + c)} – 12$
$= \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$
$a, b, c$ là các số thực dương tùy ý thoả mãn
$\dfrac{\sqrt3}{b + c} = \dfrac{2}{a + c} = \dfrac{\sqrt5}{a + b}$
Vậy $\min\left(\dfrac{3a}{b + c} + \dfrac{4b}{a + c} + \dfrac{5c}{a + b}\right) = \dfrac{(\sqrt3 + 2 + \sqrt5)^2}{2}- 12$