Giúp em bài 4 với ạ. Bài này em chưa hiểu nên không biết làm. Mọi người giúp em với ạ.

$1) \, y = 2 + \cos^2x – \sin^2x$

$\Leftrightarrow y = 2 + \cos2x$

Ta có:

$-1 \leq \cos2x \leq 1$

$\Leftrightarrow 1 \leq 2 + \cos2x \leq 3$

Hay $1 \leq y \leq 3$

Vậy $\min y = 1 \Leftrightarrow \cos2x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

$\max y = 3 \Leftrightarrow \cos2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \quad (k \in \Bbb Z)$

$2)\, y = \cos^2x – 2\sqrt3\cos x\sin x + 1$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{1 + \cos2x}{2} – \sqrt3\sin2x + 1$

$\Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}\cos2x – \sqrt3\sin2x + \dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow y – \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\cos2x – \sqrt3\sin2x$

Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ ta được:

(Phương trình có nghiệm)

$\left(y – \dfrac{3}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{2}\cos2x – \sqrt3\sin2x\right)^2 \leq \left(\dfrac{1}{4} + 3\right)(\cos^22x + \sin^22x) = \dfrac{13}{4}$

$\Rightarrow -\dfrac{\sqrt{13}}{2} \leq y – \dfrac{3}{2} \leq \dfrac{\sqrt{13}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3 – \sqrt{13}}{2} \leq y \leq \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Vậy $\min y = \dfrac{3 – \sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos2x – \sqrt3\sin2x = – \dfrac{\sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\arccos\dfrac{1}{\sqrt{13}}}{2} + k\pi$

$\max y = \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos2x – \sqrt3\sin2x = \dfrac{\sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow x = -\dfrac{\arccos\dfrac{1}{\sqrt{13}}}{2} + k\pi \quad (k \in \Bbb Z)$