giải phương trình nghiệm nguyên x+y+1=xyz

Question

giải phương trình nghiệm nguyên
x+y+1=xyz

in progress 0
Diễm Thu 1 year 2020-11-22T07:01:43+00:00 2 Answers 126 views 0

Answers ( )

    0
    2020-11-22T07:03:39+00:00

    Đáp án:

    $\{(0, -1, z), (-1, 0, z), (1,1,3), (-1, -1, -1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-2, -1,-1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1), (-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$ với $z$ nguyên tùy ý

    Lời giải:

    TH1: $x = 0$

    Khi đó, phương trình trở thành

    $y + 1 = 0$

    $\Leftrightarrow y = -1$

    và $z$ tùy ý.

    Khi đó nghiệm của phương trình trong trường hợp này là $(0, -1, z)$ với $z$ nguyên tùy ý.

    TH2: $y = 0$

    Tương tự, nghiệm của phương trình trong trường hợp này là $(-1, 0, z)$ với $z$ nguyên tùy ý.

    TH3: $xy \neq 0$

    Khi đó, chia cả 2  vế của phương trình cho $xy$ ta có

    $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy} = z$

    $\Leftrightarrow \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = z + 1$

    $\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x} . \dfrac{y+1}{y} = z + 1$

    Do vế phải là số nguyên nên vế trái cũng phải là số nguyên. Mặt khác, $x + 1$ và $x$ là 2 số nguyên liên tiếp, $y + 1$ và $y$ cũng vậy. Do đó, để là số nguyên thì ta phải có

    – $x + 1$ chia hết cho $x$ và $y + 1$ chia hết cho $y$.
    hoặc

    – $x +1$ chia hết cho $y$ và $y + 1$ chia hết cho $x$.

    TH3.1: $x + 1$ chia hết cho $x$ và $y + 1$ chia hết cho $y$

    Ta thấy 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho nhau khi và chỉ khi số bé hơn bằng $\pm 1$, tức là $x$ và $y$ bằng $\pm 1$.

    + Nếu $x = y = 1$ thì ta có $z= 3$, suy ra nghiệm là $(1,1,3)$.

    + Nếu $x = y = -1$ thì ta có $z =-1$, suy ra nghiệm $(-1, -1, -1)$.

    + Nếu $x = 1, y = -1$ thì ta có $z = -1$, suy ra nghiệm $(1, -1, -1)$.

    + Nếu $x = -1, y = 1$ thì ta có $z = -1$, suy ra nghiệm $(-1, 1, -1)$.

    TH3.2: $x +1$ chia hết cho $y$ và $y + 1$ chia hết cho $x$

    Từ đó suy ra $x + 1 \geq y$ và $y + 1 \geq x$.

    TH3.2.1: $x + 1 = y$ và $y + 1 = x$

    Từ đó suy ra $x + 2 = x$ (vô lý)

    TH3.2.2: $x + 1 = y$ và $y + 1 > x$

    Thay vào phương trình ta có

    $\dfrac{x+2}{x} = z + 1$

    $\Leftrightarrow 1 + \dfrac{2}{x} = z + 1$

    $\Leftrightarrow \dfrac{2}{x} = z$

    Do đó $x \in Ư(2) = \{ \pm 1, \pm 2\}$.

    Thế vào, suy ra tập nghiệm là

    $\{(-2, -1, -1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1)\}$.

    TH3.2.3: $x + 1 > y$ và $y + 1 = x$

    Thay vào phương trình ta có

    $\dfrac{y+2}{y} = z + 1$

    $\Leftrightarrow \dfrac{2}{y} = z$

    Làm tương tự trường hợp trên ta có

    $\{(-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$.

    TH3.2.4: $x + 1 > y$ và $y + 1 > x$

    Suy ra $x \geq y$ và $y \geq x$

    Khi đó phương trình trở thành

    $\left( \dfrac{x+1}{x} \right)^2 = z + 1$

    Do vế phải là số nguyên nên vế trái cũng phải là số nguyên, vậy $x + 1$ chia hết cho $x$, do đó $x = \pm 1$, suy ra $y = \pm 1$. Trường hợp này đã xét ở TH2.1.

    Tóm lại, tập nghiệm của phương trình là

    $\{(0, -1, z), (-1, 0, z), (1,1,3), (-1, -1, -1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-2, -1,-1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1), (-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$ với $z$ nguyên tùy ý.

    0
    2020-11-22T07:03:48+00:00

    Để tìm câu trả lời chính xác các em hãy tham khảo cách giải phương trình nghiệm nguyên các nguồn hoc24.vn, lazi.vn, hoidap247.com để thầy cô và các chuyên gia hỗ trợ các em nhé!

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )