$\Delta ABC$ cân tại A, phân giác BE, CF a) Chứng minh: Tứ giác BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên b) $BE\cap FC=\right{O\left}$. Chứng m

0 thoughts on “$\Delta ABC$ cân tại A, phân giác BE, CF a) Chứng minh: Tứ giác BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên b) $BE\cap FC=\right{O\left}$. Chứng m”

1. a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được

   $+)\quad \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AB}{BC}$

   $+)\quad \dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AC}{BC}$

   mà $AB = AC \, (gt)$

   $\Rightarrow \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AF}{FB}$

   $\Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$

   $\Rightarrow EF//BC$ (Theo định lý $Thales$ đảo

   $\Rightarrow BCEF$ là hình thang

   Lại có: $\widehat{B} = \widehat{C}$ $(gt)$

   $\Rightarrow BCEF$ là hình thang cân

   $\Rightarrow EC = FB$

   Mặt khác:

   $\widehat{ECF} = \widehat{BCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\, (gt)$

   $\widehat{BCF} = \widehat{EFC}$ (so le trong)

   $\Rightarrow \widehat{ECF} = \widehat{EFC}$

   $\Rightarrow ∆ECF$ cân tại $E$

   $\Rightarrow EF = EC$

   $\Rightarrow EF = EC = FC$

   Vậy $BCEF$ là hình thang cân có đáy bé bằng cạnh bên

   2) Ta có:

   $\widehat{ECF} = \widehat{BCF}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}\, (gt)$

   $\widehat{FBE} = \widehat{CBE}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}\, (gt)$

   $\widehat{B} = \widehat{C} \, (gt)$

   $\Rightarrow \widehat{ECF} = \widehat{FBE}$

   Lại có: $\widehat{FOB} = \widehat{EOC}$ (đối đỉnh)

   nên $\widehat{CEO} = \widehat{BFO}$

   Xét $∆CEO$ và $∆BFO$ có:

   $\widehat{ECF} = \widehat{FBE}$ $(cmt)$

   $\widehat{CEO} = \widehat{BFO}$

   $EC = BF$ (chứng minh ở câu a)

   Do đó $∆CEO=∆BFO\, (g.c.g)$

   $\Rightarrow OE = OF;\, OB = OC$

   Mặt khác:

   $AB = AC$

   $BF = CE$

   $\Rightarrow AF = AE$

   $\Rightarrow AO$ là trung trực của $EF$ và $BC$

   Reply