Cứu e đi anh puvi! chuyên gia, HSG giúp e

Đáp án: $GTNN$ của $F = 24 ⇔ a = 1; b = 2; c = 3$

Giải thích các bước giải:

$ a² + 2b² + 2c² + 2b(a – 2) + 2c(a – 3) + 2bc ≤ 23$

$ ⇔ (a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca) + (b² – 4b + 4) + (c² – 6c + 9) ≤ 36$

$ ⇔ (a + b + c)² + (b – 2)² + (c – 3)² ≤ 36$

$ ⇒ (a + b + c)² ≤ 36 ⇔ 0 < a + b + c ≤ 6$

$ Max(a + b + c) = 6 ⇔ b – 2 = c – 2 = 0 ⇔ b = 2; c = 3; a = 1 (1)$

Áp dụng $BĐT AM – GM$ và $(1)$ ta có:

$ F = a + b + 2c + \dfrac{2}{a} + \dfrac{8}{b} + \dfrac{27}{c} $ 

$ = 2(a + \dfrac{1}{a}) + 2(b + \dfrac{4}{b}) + 3(c + \dfrac{9}{c}) – (a + b + c)$ 

$ ≥ 2.2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} + 2.2\sqrt{b.\dfrac{4}{b}} + 3.2\sqrt{c.\dfrac{9}{c}} – 6$

$ = 4 + 8 + 18 – 6 = 24$

Vậy $GTNN$ của $F = 24$ xảy ra khi :

$ a = \dfrac{1}{a} ⇔ a = 1; b = \dfrac{4}{b} ⇔ b = 2; c = \dfrac{9}{c} ⇔ c = 3$

$ ⇒  a + b +  c = 1 + 2 + 3 = 6$ thỏa mãn $(1)$