chứng tỏ rằng với mọi stn n:2^2^n+1 có cstc là 7

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
n = 0 \Rightarrow {2^{{2^n}}} + 1 = {2^{{2^0}}} + 1 = 3.\\
n = 1 \Rightarrow {2^{{2^n}}} + 1 = {2^{{2^1}}} + 1 = 5.\\
n = 2 \Rightarrow {2^{{2^n}}} + 1 = {2^{{2^2}}} + 1 = 17.
\end{array}$

Ta sẽ chứng minh bắt đầu từ $n=2$ thì ${2^{{2^n}}} + 1$ có chữ số tận cùng là $7$.

Thật vậy:

$\begin{array}{l}
n \ge 3 \Rightarrow {2^n} \ge {2^3} = 8;{2^n} \vdots 4 \Rightarrow {2^n} = 4k\left( {k \in Z} \right)\\
 \Rightarrow {2^2}^{^n} = {2^{4k}} = {\left( {{2^4}} \right)^k} = {16^k} \equiv {6^k} \equiv 6\left( {\bmod 10} \right)\\
 \Rightarrow {2^{{2^n}}} + 1 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)
\end{array}$

$ \Rightarrow {2^{{2^n}}} + 1$ có chữ số tận cùng là $7$.

Điều phải chứng minh.