Cho hình thang $ABCD$ có $AD=BC$ , $AC ⊥BC$ . Biết $AD=5a ; AC=12a$ . Tính $S_{ABCD}$

Đáp án:

${S_{ABCD}} = \dfrac{{8640}}{{169}}{a^2}$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $CE\bot AB=E; DF\bot AB=F$

 Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};AC = 12a;BC = AD = 5a\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}}  = 13a\\
CE = \dfrac{{AC.BC}}{{AB}} = \dfrac{{12a.5a}}{{13a}} = \dfrac{{60}}{{13}}a
\end{array} \right.\\
\end{array}$

Lại có:

Do $ABCD$ là hình thang $\to CE=DF$

Khi đó:

$\Delta ADF = \Delta BCE\left( {ch – cgv} \right)$ vì:

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AFD} = \widehat {BEC} = {90^0}\\
AD = BC\\
DF = CE
\end{array} \right.$

Suy ra: $AF = BE$ $ \Rightarrow EF=AB-2BE$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};AC = 12a;BC = AD = 5a;CE \bot AB = E\\
 \Rightarrow BE = \dfrac{{B{C^2}}}{{AB}} = \dfrac{{{{\left( {5a} \right)}^2}}}{{13a}} = \dfrac{{25}}{{13}}a\\
 \Rightarrow EF = AB – 2BE = 13 – 2.\dfrac{{25}}{{13}}a = \dfrac{{119}}{{13}}a
\end{array}$

Mà $EF//CD;CE//DF\left( { \bot AB} \right)$ $ \Rightarrow CEFD$ là hình bình hành.

Mặt khác: $\widehat {CEF} = {90^0}$$ \Rightarrow CEFD$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow EF = CD$

Như vậy: $CD = \dfrac{{119}}{{13}}a$

Khi đó:

${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CE.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{60}}{{13}}a.\left( {13a + \dfrac{{119}}{{13}}a} \right) = \dfrac{{8640}}{{169}}{a^2}$

Vậy ${S_{ABCD}} = \dfrac{{8640}}{{169}}{a^2}$