Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy = a. tính thể tích khối chóp SABC biết
a) cạnh bên bằng 2a
b) góc giữa cạnh bên và mặt đáy = 60 độ
c) góc giữa mặt bên và mặt đáy = 60 độ
Giúp vs mng
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy = a. tính thể tích khối chóp SABC biết
a) cạnh bên bằng 2a
b) góc giữa cạnh bên và mặt đáy = 60 độ
c) góc giữa mặt bên và mặt đáy = 60 độ
Giúp vs mng
Đáp án:
a) $V= \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$
b) $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
c) $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $ΔABC$ đều cạnh $a$
Gọi $AM$ là đường cao ứng với cạnh $BC$
$\Rightarrow AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Gọi $H$ là tâm của $ΔABC$
$\Rightarrow \begin{cases}AH = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{a\sqrt3}{3}\\HM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{a\sqrt3}{6}\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABC)$ ($S.ABC$ là hình chóp tam giác đều)
$\Rightarrow SH = AH.\tan\widehat{SAH} = HM.\tan\widehat{SMH}$
a) Ta có:
$SA = SB = SC = 2a$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔSHA$ vuông tại $H$ ta được:
$SA^2 = AH^2 + SH^2$
$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 -AH^2} = \sqrt{4a^2 – \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{33}}{3}$
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$
b) Ta có:
$SH\perp (ABC)$
$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAH} = 60^o$
$\Rightarrow SH = AH.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3 = a$
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$
c) Ta có:
$SB = SC = 2a$
$\Rightarrow ΔSBC$ cân tại $S$
Lại có: $MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$
$\Rightarrow SM\perp BC$
Ta lại có:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SM\perp BC,\,SM\subset (SBC)\\AM\perp BC,\,AM\subset(ABC)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = \widehat{SMH} = 60^o$
$\Rightarrow SH = HM.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$