Các chuyên gia giải toán vào giúp mình giải bài này với ạ, please help me
Các chuyên gia giải toán vào giúp mình giải bài này với ạ, please help me
Share
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Dâu
1) Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
Do đó $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$
Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:
$\widehat{A}:$ góc chung
$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ $(cmt)$
Do đó $∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$
b) Ta có:
Bằng cách chứng minh tương tự câu a, ta được:
$∆BDF\sim ∆BAC$
$∆CDE\sim ∆CAB$
Ta có:
$\widehat{AEF} = \widehat{ECF} + \widehat{EFC}$
mà $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$ $(∆AEF\sim ∆ABC)$
$\widehat{ECF} =\widehat{ACF} =\widehat{ABE}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)
nên $\widehat{ABC} = \widehat{ABE} + \widehat{EFC}$
Lại có:
$\widehat{ABC} = \widehat{ABE} + \widehat{EBC}$
$\Rightarrow \widehat{EFC} = \widehat{EBC}$ $(1)$
Tương tự, ta có:
$\widehat{BDF} = \widehat{DFC} + \widehat{DCF}$
$\to \widehat{BAC} = \widehat{DFC} + \widehat{DAB}$
$\to \widehat{DFC} = \widehat{DAC}$ $(2)$
Mặt khác:
$\widehat{EBC} = \widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$ $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{DFC} = \widehat{EFC}$
$\Rightarrow FH$ là phân giác của $\widehat{DFE}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$
$DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
$\Rightarrow H$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆DEF$
3) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy – Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$ $(1)$
Áp dụng bất đẳng thức $AM – GM$ ta được
$\dfrac{[(p – a) + (p – b)+(p-c)]^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^4}{27} \geq p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq S$
$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3} \geq \sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{4p^2}{3}\geq 4\sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{(2p)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a + b + c)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow∆ABC$ đều
_______________________________________________
Ta có:
$+)\quad a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$
Bất đẳng thức $Weizenbock$
$+)\quad 2(ab + bc + ca) – (a^2 + b^2 + c^2)\geq 4\sqrt3S$
Bất đẳng thức $Hadwiger-Finsler$
$+)\quad 9R^2 \geq a^2 + b^2 + c^2$
Bất đẳng thức $Leibniz$