a/(2a+b+c)+b/(2b+c+a)+c/(2c+a+b)<=3/4

Question

a/(2a+b+c)+b/(2b+c+a)+c/(2c+a+b)<=3/4

in progress 0
Hưng Gia 1 year 2020-11-10T07:47:07+00:00 2 Answers 90 views 0

Answers ( )

    0
    2020-11-10T07:48:53+00:00

    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy – Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

    $\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{a + c} \geq \dfrac{(1 +1)^2}{a + b + a + c} = \dfrac{4}{2a + b + c}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{a}{a + c} \geq \dfrac{4a}{2a + b + c}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{a}{4(a + c)} \geq \dfrac{a}{2a + b + c}$

    Tương tự ta được:

    $\dfrac{b}{4(b + a)} +\dfrac{b}{4(b + c)} \geq \dfrac{b}{2b + c +a}$

    $\dfrac{c}{4(c + a)} + \dfrac{c}{4(c + b)} \geq \dfrac{c}{2c + a + b}$

    Cộng vế theo vế ta được:

    $\dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{a}{4(a + c)} + \dfrac{b}{4(b + a)} +\dfrac{b}{4(b + c)} + \dfrac{c}{4(c + a)} + \dfrac{c}{4(c + b)} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

    $\Leftrightarrow \left[\dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{b}{4(a + b)}\right] + \left[\dfrac{a}{4(a + c)} + \dfrac{c}{4(a + c)}\right] + \left[\dfrac{b}{4(b + c)} + \dfrac{c}{4(b + c)}\right] \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

    Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

    0
    2020-11-10T07:49:06+00:00

    Đáp án:

     

    Giải thích các bước giải:

     mk nghĩ là thiếu đk : `a,b,c>0`

    a-2a-b-c-b-2b-c-a-c-2c-a-b-3-4

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )