## a/(2a+b+c)+b/(2b+c+a)+c/(2c+a+b)<=3/4

Question

a/(2a+b+c)+b/(2b+c+a)+c/(2c+a+b)<=3/4

in progress 0
1 year 2020-11-10T07:47:07+00:00 2 Answers 90 views 0

1. Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy – Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{a + c} \geq \dfrac{(1 +1)^2}{a + b + a + c} = \dfrac{4}{2a + b + c}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{a}{a + c} \geq \dfrac{4a}{2a + b + c}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{a}{4(a + c)} \geq \dfrac{a}{2a + b + c}$

Tương tự ta được:

$\dfrac{b}{4(b + a)} +\dfrac{b}{4(b + c)} \geq \dfrac{b}{2b + c +a}$

$\dfrac{c}{4(c + a)} + \dfrac{c}{4(c + b)} \geq \dfrac{c}{2c + a + b}$

Cộng vế theo vế ta được:

$\dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{a}{4(a + c)} + \dfrac{b}{4(b + a)} +\dfrac{b}{4(b + c)} + \dfrac{c}{4(c + a)} + \dfrac{c}{4(c + b)} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

$\Leftrightarrow \left[\dfrac{a}{4(a + b)} + \dfrac{b}{4(a + b)}\right] + \left[\dfrac{a}{4(a + c)} + \dfrac{c}{4(a + c)}\right] + \left[\dfrac{b}{4(b + c)} + \dfrac{c}{4(b + c)}\right] \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{a}{2a + b + c} + \dfrac{b}{2b + c +a} + \dfrac{c}{2c + a + b}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

2. Đáp án:

Giải thích các bước giải:

mk nghĩ là thiếu đk : a,b,c>0