Cho đường tròn tâm O đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C, gọi D là hình chiếu của C trên AB. Từ A, B kẻ AH, BK vuông g

Question

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C, gọi D là hình chiếu của C trên AB. Từ A, B kẻ AH, BK vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a) AH + BK không đổi khi tiếp tuyến d thay đổi trên đường tròn
b) CD² = AH.BK;
c) Đường tròn đường kính HK luôn tiếp xúc với AH, AB và BK;
d) Xác định vị trí điểm C để tứ giác AH KB có diện tích lớn nhất.

Em mới học vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn! GIÚP E CHUYÊN GIA, HSG
cho-duong-tron-tam-o-duong-kinh-ab-duong-thang-d-la-tiep-tuyen-voi-duong-tron-o-tai-c-goi-d-la-h

in progress 0
Latifah 6 years 2020-11-22T06:05:26+00:00 1 Answers 205 views 1

Answers ( )

  1. Sigrid
    0
    2020-11-22T06:06:42+00:00
    Reply

    a) Xét tứ giác $AHKB$ có:

    $AH\perp HK$

    $BK\perp HK$

    Do đó $AHKB$ là hình thang vuông tại $H$ và $K$

    Ta lại có:

    $OC//AH//BK \, (OC\perp HK)$

    $OA = OB = R$

    $\Rightarrow CO$ là đường trung bình của hình thang

    $\Rightarrow AH + BK = 2CO = 2R$ (không đổi)

    b) Ta có: $\widehat{ACB} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    Ta lại có: $\widehat{D} = 90^o$ $(CD\perp AB)$

    $\Rightarrow \widehat{DCA} = \widehat{CBA}$ (cùng phụ $\widehat{DCB}$)

    mà $\widehat{CBA} = \dfrac{1}{2}s₫\overparen{AC}$

    $\widehat{ACH} = \dfrac{1}{2}s₫\overparen{AC}$

    nên $\widehat{DCA} = \widehat{ACH}$

    Xét $∆DCA$ và $∆HCA$ có:

    $\widehat{D} = \widehat{H} = 90^o$

    $\widehat{DCA} = \widehat{ACH} \, (cmt)$

    $AC:$ cạnh chung

    Do đó $∆DCA = ∆HCA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

    $\Rightarrow DA = AH;\, DC = CH$

    Chứng minh tương tự, ta được:

    $DB = BK;\, DC = CK$

    Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABC$ vuông tại $C$ đường cao $CD$ ta được:

    $CD^2 = DA.DB = AH.BK$

    c) Ta có:

    $CD = CH = CK$ (chứng minh ở câu b)

    $\Rightarrow C$ là tâm đường tròn đường kính $HK$, các bán kính $CH, CK, CD$

    Mặt khác:

    $AH\perp CH$

    $BK\perp CK$

    $AB\perp CD$

    Do đó đường tròn đường kính $HK$ luôn tiếp xúc với $AH, BK, AB$

    d) Ta có $ABKH$ là hình thang vuông tại $H$ và $K$

    $\Rightarrow S_{ABKH} = \dfrac{1}{2}(AH + BK).HK$

    $= CO.2CD = 2R.CD$

    Xét $∆CDO$ vuông tại $D$ luôn có:

    $CD \leq CO$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)

    $\Rightarrow S_{ABKH} = 2R.CD \leq 2R.CO = 2R^2$

    Vậy $\max S_{ABKH} = 2R^2 \Leftrightarrow CD = CO = R$

    $\Leftrightarrow C$ là điểm chính giữa nửa đường tròn $AB$

Leave an answer

Browse

Giải phương trình 1 ẩn: x + 2 - 2(x + 1) = -x . Hỏi x = ? ( )